Самое простое определение выглядит так: 
Манга - это японские комиксы.
Аниме - это японская анимация.
Слово "манга" произносится с ударением на первый слог и склоняется, но не имеет форм множественного числа. Слово "аниме" произносится с ударением либо на первый, либо на последний (реже) слоги и не склоняется.
Часто считают, что термины "манга" и "аниме" ограниченны каким-то жанрами (фантастика, фэнтези) и графическими стилями (реалистичность, "большие глаза"). Это не так. Термины "манга" и "аниме" определяют только базовую культуру, на основе которой создаются соответствующие произведения, и более ничего. Почему же вообще имеет смысл использовать отдельные термины, почему нельзя просто говорить "японская анимация", как мы говорим "немецкая анимация" или "французские комиксы"? Зачем отдельные термины?

Прежде всего, просто для удобства.  Во-вторых, японская культура анимации и комиксов, безусловно, самая развитая и разнообразная в мире, при этом она во многом отличается от других национальных культур анимации и комиксов.

Собственно говоря, о существовании значительной национальной комикс-анимационной культуры можно говорить только в приложении к США, Японии и Франции (ФРГ и обе Кореи хотят, но пока не вполне дотягивают, Россия тоже хочет, но нам еще до таких высот развития культуры далеко...). При этом США и Франция - "европейские" страны с христианской ментальностью, а Япония - "восточная" страна с буддийско-синтоистской ментальностью.

Поскольку с точки зрения менталитета Россия все-таки ближе к Франции и США, японская массовая культура, частью которой являются аниме и манга, для нас не очевидна и не всегда понятна "с первого взгляда". Отсюда и необходимость отдельных терминов для японской анимации и комиксов - даже если они иногда кажутся похожими на американские или французские, глубинные культурные различия между ними все-таки весьма значительны.

С третьей стороны, нет ни одной страны мира, в какой бы такое внимание уделялось комиксам и анимации. Создатели популярных японских комиксов - весьма состоятельные люди (Такахаси Румико - одна из самых богатых женщин Японии), наиболее известные из них - национальные знаменитости, манга составляет около четверти всей выпускаемой в Японии печатной продукции и читается независимо от возраста и пола. Положение аниме несколько более скромно, но также вполне завидно. Скажем, нет ни одной страны мира, в которой бы актеры, озвучивающие анимацию (сэйю), пользовались таким признанием, уважением и любовью. Япония - единственная страна в мире, выдвигавшая на Оскар за "лучший иностранный фильм" полнометражный мультфильм.

Интересно, что если во всем остальном мире иногда бывает так, что неудачник в литературе начинает писать сценарии комиксов, то в Японии некоторые писатели "толстых журналов" начинали свою карьеру как создатели манги, причем потому, что изначально считали именно это поприще более для себя подходящим. Также и многие актеры-сэйю, которые в других странах наверняка бы долго пробовали пробиться в мир "настоящего кино" (и у некоторых из них это наверняка получилось бы), с самого детства мечтали о работе на озвучании. С другой стороны, только в Японии живут значительные режиссеры, успешно снимающие и кино, и аниме, о которых можно сказать, что их главные художественные достижения - все-таки в области анимации (Осии Мамору и Анно Хидэаки).

Если в остальном мире анимация "паразитирует" на кино, то в Японии ситуация обратная. Особенно это заметно на ТВ-сериалах, в которых актеры часто играют в аниме-стиле, и на видеоклипах, для которых молодых звездочек-"идолов" тщательно гримируют в аниме-стиле. Это же характерно и для влияния аниме за рубежом. Так, братья Вачовски, создатели "Матрицы", неоднократно признавались, что ставили себе задачу воспроизвести "в живую" стиль японского аниме-киберпанка (в первую очередь - аниме-фильма "Призрак в "Доспехе"). Заметим, что в Японии есть и художественные фильмы в этом стиле. Но кто их знает, кроме больших поклонников японского кино? А "Призрак" демонстрировался во всем мире, в том числе и в России (на одном из фестивалей японского кино).

Многие национальные культуры боятся потерять свою "идентичность", заимствуя что-нибудь из других культур. В японской культуре такого страха нет (хотя есть отдельные паникеры-консерваторы). В японском фэнтези можно встретить не только японо-китайских оборотней, но и европейских эльфов и гномов. В одном фэнтези есть даже советский танк.  Однако никакой "идентичности" это не угрожает, напротив, эльфийки становятся "японками", гномы - "японцами", а танки - вполне национальными кошками-призраками. Даже когда создатели манги или аниме хотят создать нечто "совершенно европейское" или "абсолютно американское", они не могут уйти от культуры, которую впитали с молоком матери. И именно поэтому их художественные эксперименты не разрушают японскую культуру, а дополняют ее, расширяют ее набор приемов и идей.

Любой достойный взнос в культуру национальную - взнос и в мировую культуру. Разве не стала мировая культура богаче от того, что к "маленькому народцу" ирландских легенд и трагическим витязям Толкиена добавились обаятельные ушастые аниме-эльфийки? Конечно, да. И японские самураи, и японские эльфы, и даже японские ковбои - все это вклад Японии в копилку мировой культуры. Но чтобы по-настоящему его оценить, надо знать не только мировую культуру "в общем", но и японскую культуру, в том числе и массовую, "в частности".

Помимо прочего, аниме и манга - прекрасный способ оценить не только то, как современные японцы отражают и переживают свои исконные традиции, но и то, как в японских произведениях отражаются мотивы и сюжеты других народов. И отнюдь не факт, что первое всегда интереснее второго. Нужно очень хорошо знать японский язык и теорию литературы, чтобы по-настоящему понять, чем японское стихосложение (и японская ментальность) отличается от европейского. А чтобы понять, чем японские эльфийки отличаются от эльфов Толкиена, достаточно посмотреть один-два сериала. И не факт, что вы получите только интеллектуальное удовольствие. 

Таким образом, аниме и манга - своеобразный "черный ход" в мир японского сознания. И идя через этот ход, можно не только сократить путь, не продираясь через все заборы и бастионы, воздвигнутые полуторатысячелетней "высокой культурой" Японии (искусство аниме и манги значительно моложе, и в нем меньше традиций), но и получить немалое удовольствие. Совмещение приятного с полезным - что может быть лучше?

Теперь несколько конкретных замечаний о манге и аниме по отдельности.